基本定义

给定一个数集$A$，假设其中的元素为$x$，对$A$中的元素$x$施加对应法则$f$，记作$f(x)$，得到另一数集$B$，假设$B$中的元素为$y$，则$y$与$x$之间的等量关系可以用$y=f(x)$表示。

幂函数

1. 所有幂函数一定过定点$(1,1)$.

2. 对于$y=x^k$，在$(0,+\infty)$上均有定义。

   $k<0$时，在$x=0$上无意义。

   其余地按情况判定在$(-\infty,0)$上是否有意义。

指数函数

1. 对于函数$f(x)=a^x(a>0,a\neq1)$，$D=R$，$f(x)=(0,+\infty)$，非奇非偶，过定点$(0,1)$。

   当$a>1$时，函数在$R$上增。$a<1$时，函数在$R$上减。

对数函数

1. 对于函数$f(x)=\log_ax(a>0,a\neq1)$，$D=(0,+\infty)$，$f(x)\in R$，非奇非偶，过定点$(1,0)$。
2. 当$a>1$时，在$R$上单调增。$a\in(0,1)$时，在$R$上单调减。

eg:

1. 2025虹口一模 函数$y=\ln\frac{x}{x-1}$的定义域是_____。

   求解$\frac{x}{x-1}>0$，则$x\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$，即$D=(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。

2. 2025虹口一模 设$a>0$且$a\neq1$，则函数$y=2+\log_ax$图像恒过的定点为______

   $y=\log_ax$过定点$(1,0)$，此函数将其向上平移$2$，故过定点$(1,2)$。

奇偶性判定

1. 检查$D$是否关于原点对称。

2. 检查$f(x)=\pm f(x)$是否成立（定义）。

   对非奇非偶函数的证明可以举反例。

3. 偶$\pm$偶=偶，奇$\times$偶=奇，偶$\times$偶=偶

奇偶性的性质

若奇函数$y=f(x)$在$x=0$上有定义，则$f(0)=0$。

证明时需注意：1.要在$x=0$上有定义；2.$f(0)=0$是$f(x)$为奇函数的必要非充分条件。

有条件$f(x+T)=f(x)$的，可知$f(x)$存在周期性，$T$为函数的一个周期，但不一定是最小正周期。

有条件$f(x+a)=f(b-x)$的，$f(x)$图像关于$x=\frac{a+b}2$对称。

单调性

1. $\forall x_1<x_2\in D$，

   1. 若$f(x_1)\leq f(x_2)$，则$f(x)$为$D$上的增函数。

      $f(x_1)<f(x_2)$，则$f(x)$在$D$上严格增。

   2. 反之减函数、严格减（偷懒不写了）。

2. 复合函数的单调性：同增异减。

零点存在性定理：

当$y=f(x)$在$D=[a,b]$上连续，$f(a)\times f(b)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个实数$c$，使得$f(c)=0$。

$c$是$f(x)$的一个零点。（零点不是$(c,0)$！！！！！）

三角函数

1. 对于$f(x)=\sin x$，$D=R$，$f(x)\in[-1,1]$，$T_{\min}=2\pi$，在$[2k\pi-\frac\pi2,2k\pi+\frac\pi2]$上增，在$[2k\pi+\frac\pi2,2k\pi+\frac32\pi]$上减，奇函数，对称轴$x=k\pi+\frac\pi2$，对称中心$(k\pi,0)$。
2. 对于$f(x)=\cos x$，$D=R$，$f(x)\in[-1,1]$，$T_{\min}=2\pi$，在$[2k\pi-\pi,2k\pi]$上增，在$[2k\pi,2k\pi+\pi]$上减，偶函数，对称轴$x=k\pi$，对称中心$(k\pi+\frac\pi2,0)$。
3. 对于$f(x)=\tan x$，$D={x|x\neq k\pi+\frac\pi2,k\in Z}$，$f(x)\in R$，$T_{\min}=\pi$，在$(k\pi-\frac\pi2,k\pi+\frac\pi2)$上增，无减区间，奇函数，无对称轴，对称中心$(\frac{k\pi}{2},0)$。
4. 对于$y=A\sin(\omega x+\varphi)$，$A$是振幅，$\omega$是圆频率，$\varphi$是初始相位。
5. 辅助角公式$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\arctan\frac ba)$。

eg:

1. 2025虹口一模 对$f(x)=\sin\omega x,x>0$，当$T_{min}=2\pi$时，求$y=f(x)+\cos x$在$[0,\frac\pi2]$上的最大值。

   $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\Rightarrow\omega=1$，

   $y=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)$。

   所以$x+\frac\pi4\in[\frac\pi4,\frac34\pi]$。

   当$x+\frac\pi4=\frac\pi2$时，$x=\frac\pi4$，$y_{\max}=2$。

分段函数

看着解就行了（）。

eg:

1. 2025虹口一模 已知$f(x)=\begin{cases}x^2-x,x\geq0\\f(-x),x<0\end{cases}$，则$f(x)\leq6$的解集为______

   分别针对$x\geq0$时和$x<0$时求解。

   当$x\geq0$时，$f(x)\leq6\Rightarrow x\in[0,3]$。

   当$x<0$时，$f(x)\leq6\Rightarrow x\in[-3,0)$

   两个解集取并，答案为$[-3,3]$。